탄젠트 조건으로 sin+cos 구하기

[출제의도] 삼각함수의 정의와 관계를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \tan \theta - \frac{6}{\tan \theta} = 1$이므로 양변에 $\tan \theta$를 곱하면 $\tan ^{2} \theta - 6$$= \tan \theta$ $\tan ^{2} \theta - \tan \theta - 6 = 0$ $\left( \tan \theta + 2 \right) \left( \tan \theta - 3 ) = 0 \right.$ $\tan \theta$$= \mathit{-} 2$ 또는 $\tan \theta$$= 3$ 이때, $\displaystyle \pi < \theta < \frac{3}{2} \pi$이므로 $\tan \theta$$= 3$ 이때, $\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$= 3$, $\sin \theta$$= 3 \cos \theta$ 이므로 $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$$= 1$에 대입하면 $9 \cos ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$$= 1$ $10 \cos ^{2} \theta$$= 1$ $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{10}}$ 또는 $\displaystyle \cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{10}}$ 이때, $\displaystyle \pi < \theta < \frac{3}{2} \pi$이므로 $\displaystyle \cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{10}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 값을 $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$$= 1$에 대입하면 $\displaystyle \sin ^{2} \theta + \frac{1}{10}$$= 1$ $\sin ^{2} \theta$$\displaystyle = \frac{9}{10}$ $\sin \theta$$\displaystyle = \frac{3}{\sqrt{10}}$ 또는 $\sin \theta$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{\sqrt{10}}$ 이때, $\displaystyle \pi < \theta < \frac{3}{2} \pi$이므로 $\sin \theta$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{\sqrt{10}}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 따라서 ㉠과 ㉡에서 $\therefore \sin \theta + \cos \theta$$\displaystyle = \left( \mathit{-} \frac{3}{\sqrt{10}} \right) + \left( - \frac{1}{\sqrt{10}} \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{4}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle = - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$