탄젠트 합성함수 미분

조건 (나)에서 $\sin g \left( \pi \right) = 0$이므로 $\tan g \left( \pi \right) = 0$ $f' \left( x \right) = g' \left( x \right) \left\{ 1 - \sec ^{2} g \left( x \right) \right\} = - g' \left( x \right) \tan ^{2} g \left( x \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이므로 $f' \left( \pi \right) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {g \left( x \right)} = \frac{3 \pi}{2}$이고 두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $g \left( x \right)$의 치역은 구간 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3 \pi}{2} \right)$ 또는 $\displaystyle \left( \frac{3 \pi}{2} , \frac{5 \pi}{2} \right)$이다. (ⅰ) 함수 $g \left( x \right)$의 치역이 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3 \pi}{2} \right)$일 때 $\sin g \left( \pi \right) = 0$이므로 $g \left( \pi \right) = \pi$ $f \left( \pi \right) = g \left( \pi \right) - \tan g \left( \pi \right) = \pi$이고 $f \left( 0 \right) = 0$, $f' \left( \pi \right) = 0$, $f'' \left( \pi \right) = 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{\pi ^{2}} \left( x - \pi \right) ^{3} + \pi$ 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f \left( x \right)} = \infty$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( x \right) - \tan g \left( x \right) \right\}} = \infty$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {g \left( x \right)} = \frac{3 \pi}{2}$이고 $g \left( x \right) = t$라 하면 $x \rightarrow \infty$일 때 $\displaystyle t \rightarrow \frac{3 \pi}{2} -$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\tan g \left( x \right)} = \lim\limits _{t \rightarrow \frac{3 \pi}{2} -} {\tan t} = \infty$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( x \right) - \tan g \left( x \right) \right\}} = - \infty$이고 ㉡과 모순이다. (ⅱ) 함수 $g \left( x \right)$의 치역이 $\displaystyle \left( \frac{3 \pi}{2} , \frac{5 \pi}{2} \right)$일 때 $\sin g \left( \pi \right) = 0$이므로 $g \left( \pi \right) = 2 \pi$ $f \left( \pi \right) = g \left( \pi \right) - \tan g \left( \pi \right) = 2 \pi$이고 $f \left( 0 \right) = 0$, $f' \left( \pi \right) = 0$, $f'' \left( \pi \right) = 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{2}{\pi ^{2}} \left( x - \pi \right) ^{3} + 2 \pi$ 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f \left( x \right)} = \infty$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( x \right) - \tan g \left( x \right) \right\}} = \infty$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {g \left( x \right)} = \frac{3 \pi}{2}$이고 $g \left( x \right) = t$라 하면 $x \rightarrow \infty$일 때 $\displaystyle t \rightarrow \frac{3 \pi}{2} +$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\tan g \left( x \right)} = \lim\limits _{t \rightarrow \frac{3 \pi}{2} +} {\tan t} = - \infty$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( x \right) - \tan g \left( x \right) \right\}} = \infty$이고 ㉢을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{2}{\pi ^{2}} \left( x - \pi \right) ^{3} + 2 \pi$ 조건 (가)에서 $f \left( 0 \right) = 0$이므로 $g \left( 0 \right) - \tan g \left( 0 \right) = 0$, $\tan g \left( 0 \right) = g \left( 0 \right)$ ㉠에서 $f' \left( 0 \right) = - g' \left( 0 \right) \tan ^{2} g \left( 0 \right) = - g' \left( 0 \right) \left\{ g \left( 0 \right) \right\} ^{2}$ $\displaystyle f' \left( 0 \right) = \frac{6}{\pi ^{2}} \left( 0 - \pi \right) ^{2} = 6$이므로 $\therefore g' \left( 0 \right) \times \left\{ g \left( 0 \right) \right\} ^{2} = - 6$