탄젠트 그래프와 넓이비

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} 4 \tan \frac{x}{4} & & \left( 0 \leq x < 2 \pi \right) \\ 2 \tan \frac{x}{4} & & \left( 2 \pi < x \leq 4 \pi \right) \end{cases}$이다.

점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( a , 4 \tan \frac{a}{4} \right)$이고, 조건 (가)에 의하여 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 4 \pi - a , 2 \tan \frac{4 \pi - a}{4} \right)$이다. $\displaystyle 2 \tan \frac{4 \pi - a}{4} = 2 \tan \left( \pi - \frac{a}{4} \right) = 2 \tan \left( - \frac{a}{4} \right) = - 2 \tan \frac{a}{4}$이고 삼각형 ${\mathrm{AOB}}$와 삼각형 ${\mathrm{BCP}}$의 넓이의 비가 $7 : 3$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times b \times 4 \tan \frac{a}{4} : \frac{1}{2} \times \left( 4 \pi - b \right) \times 2 \tan \frac{a}{4} = 7 : 3$ $2 b : \left( 4 \pi - b \right) = 7 : 3$ $7 \left( 4 \pi - b \right) = 6 b$ $\displaystyle b = \frac{28}{13} \pi$ 이다. 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{C}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{D}}$, ${\mathrm{E}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} : {\overline{\mathrm{CE}}} = 4 \tan \frac{a}{4} : 2 \tan \frac{a}{4} = 2 : 1$이고, 삼각형 ${\mathrm{ADB}}$와 삼각형 ${\mathrm{CEB}}$는 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DB}}} : {\overline{\mathrm{EB}}} = 2 : 1$이다. 그러므로 $\displaystyle \left( \frac{28}{13} \pi - a \right) : \left\{ \left( 4 \pi - a \right) - \frac{28}{13} \pi \right\} = 2 : 1$ $\displaystyle 2 \left( \frac{24}{13} \pi - a \right) = \frac{28}{13} \pi - a$ $\displaystyle a = \frac{20}{13} \pi$ 이다. 따라서 $\displaystyle a + b = \frac{20}{13} \pi + \frac{28}{13} \pi = \frac{48}{13} \pi$이다.