미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

탄젠트 덧셈정리 좌표

문제

오른쪽 그림과 같이 yy축 위의 두 점 A(0,4),B(0,2)\mathrm{A} ( 0 , 4 ) , \mathrm{B} ( 0 , 2 )와 xx축 위의 점 C(1,0)\mathrm{C} ( 1 , 0 )에 대하여 ∠CAO=α,∠CBO=β\mathrm{\angle} CAO = \alpha , \mathrm{\angle} CBO = \beta 라 하자. 양의 yy축 위의 점 P(0,y)\mathrm{P} ( 0 , y )에 대하여 ∠CPO=γ\angle \mathrm{C} PO = \gamma라 할 때, α+β=γ\alpha + \beta = \gamma가 되는 점 P\mathrm{P}의 yy좌표는? [4점]

①54\displaystyle \frac{5}{4}②65\displaystyle \frac{6}{5}③76\displaystyle \frac{7}{6}④87\displaystyle \frac{8}{7}⑤98\displaystyle \frac{9}{8}

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③

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해설

문제의 그림에서 tan⁡α=14\displaystyle \tan \alpha = \frac{1}{4}, tan⁡β=12\displaystyle \tan \beta = \frac{1}{2}, tan⁡γ=1y\displaystyle \tan \gamma = \frac{1}{y}이므로 tan⁡γ=tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan \gamma = \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}=14+121−14⋅12=67\displaystyle = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{6}{7} tan⁡γ=1y=67\displaystyle \tan \gamma = \frac{1}{y} = \frac{6}{7}에서 y=76\displaystyle y = \frac{7}{6}

태그

#삼각함수의 덧셈정리#탄젠트

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