미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

탄젠트 덧셈정리

문제

2cos⁡α=3sin⁡α2 \cos \alpha = 3 \sin \alpha이고 tan⁡(α+β)=1\tan \left( \alpha + \beta \right) = 1일 때, tan⁡β\tan \beta의 값은? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②15\displaystyle \frac{1}{5}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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②

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트의 값을 구할 수 있는가? 2cos⁡α=3sin⁡α2 \cos \alpha = 3 \sin \alpha에서 sin⁡αcos⁡α=23\displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2}{3}이므로 tan⁡α=23\displaystyle \tan \alpha = \frac{2}{3} tan⁡(α+β)\tan \left( \alpha + \beta \right)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} =23+tan⁡β1−23tan⁡β\displaystyle = \frac{\frac{2}{3} + \tan \beta}{1 - \frac{2}{3} \tan \beta} =2+3tan⁡β3−2tan⁡β\displaystyle = \frac{2 + 3 \tan \beta}{3 - 2 \tan \beta}이고, tan⁡(α+β)=1\tan \left( \alpha + \beta \right) = 1이므로 2+3tan⁡β3−2tan⁡β=1\displaystyle \frac{2 + 3 \tan \beta}{3 - 2 \tan \beta} = 1 따라서 tan⁡β=15\displaystyle \tan \beta = \frac{1}{5}

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#덧셈정리#탄젠트

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