미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

탄젠트 덧셈정리

문제

AB‾=AC‾\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = \overline{{\mathrm{AC}}}인 이등변삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}에서 ∠A=α\angle {\mathrm{A}} = \alpha, ∠B=β\angle {\mathrm{B}} = \beta 라 하자. tan⁡(α+β)=−32\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \mathit{-} \frac{3}{2}일 때, tan⁡α\tan \alpha의 값은? [3점] ①2110\displaystyle \frac{21}{10}②115\displaystyle \frac{11}{5}③2310\displaystyle \frac{23}{10}④125\displaystyle \frac{12}{5}⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는가? ∠C=γ\angle {\mathrm{C}} = \gamma 라 하면 tan⁡γ\tan \gamma=tan⁡(π−(α+β))= \tan ( \pi - ( \alpha + \beta ) )=−tan⁡(α+β)= - \tan ( \alpha + \beta )=32\displaystyle = \frac{3}{2} 한편, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}는 AB‾=AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC}이므로 β=γ\beta = \gamma이다. 그러므로 tan⁡β=tan⁡γ=32\displaystyle \tan \beta = \tan \gamma = \frac{3}{2} 따라서, tan⁡α\tan \alpha=tan⁡(π−(β+γ))= \tan ( \pi - ( \beta + \gamma ) )=−tan⁡(β+γ)= - \tan ( \beta + \gamma ) =−tan⁡(2β)= - \tan ( 2 \beta )=−2tan⁡β1−tan⁡2β\displaystyle = - \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan ^{2} \beta} =−2×321−(32)2\displaystyle = - \frac{2 \times \frac{3}{2}}{1 - \left( \frac{3}{2} \right) ^{2}}=125\displaystyle = \frac{12}{5}

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#삼각함수의 덧셈정리

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