미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

tan 세제곱 역함수

문제

함수 $f ( x ) = \tan ^{3} x$ $\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \right)$ 의 역함수를 $g ( x )$ 라 할 때, 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 $\left( 1 , g ( 1 ) \right)$ 에서의 접선의 기울기는? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{6}$ ② $\displaystyle \frac{1}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{6}$

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①

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해설

[출제의도] 역함수의 미분법 이해하기 $g ( x )$ 가 함수 $f ( x )$ 의 역함수이므로 $g ( 1 ) = t$ 라 하면 $f ( t ) = 1$ $\tan ^{3} t = 1$ 에서 $\tan t = 1$ $\displaystyle - \frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ 에서 $\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$ 그러므로 $\displaystyle g ( 1 ) = \frac{\pi}{4}$ $f' ( x ) = 3 \tan ^{2} x \sec ^{2} x$ 따라서 점 $\left( 1 , g ( 1 ) \right)$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle g' \left( 1 \right) = \frac{1}{f' \left( g ( 1 ) \right)} = \frac{1}{\left. f' \left( \frac{\pi}{4} \right) \right.} = \frac{1}{6}$

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