공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수영장 최단 경로

문제

반지름의 길이가 20m\mathrm{20} m인 원형의 수영장이 있다. 점 O\mathrm{O}는 수영장의 중심이고, 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}는 원 위의 점이며 ∠POQ=60∘\mathrm{\angle} POQ = 60 ^\circ이다. 갑과 을이 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}에서 동시에 출발하여 중심 O\mathrm{O}를 향해 가고 있다. 호 PQ\mathrm{PQ} 위에 한 점C\mathrm{C}를 고정하고 선분 OP\mathrm{OP}와 선분OQ\mathrm{OQ} 위의 임의의 두 지점 A,B\mathrm{A} , B에 갑과 을이 각각 도달하였을 때, 세 지점 A,B,C\mathrm{A} , B , C를 서로 연결한 거리의 합 AB‾+BC‾+CA‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} + \overline{BC} + \overline{CA}의 최소값은? [4점]

①152m\displaystyle \mathrm{15} \sqrt{2} m②153m\displaystyle \mathrm{15} \sqrt{3} m③202m\displaystyle \mathrm{20} \sqrt{2} m④203m\displaystyle \mathrm{20} \sqrt{3} m⑤252m\displaystyle \mathrm{25} \sqrt{2} m

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④

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해설

[출제의도] 도형의 대칭이동을 활용하여 최소값 구하기 선분 OP\mathrm{OP}, OQ\mathrm{OQ}에 대한 점 C\mathrm{C}의 대칭점 C′,C′′\mathrm{C}' , \mathrm{C}'' AC‾=AC′‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \overline{AC'}, BC‾=BC′′‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \overline{BC''}이므로

253\displaystyle 25 \sqrt{3}

△ABC\mathrm{\triangle} ABC에서 AB‾+BC‾+CA‾=AB‾+BC′′‾+AC′‾≥C′C′′‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} + \overline{BC} + \overline{CA} = \overline{AB} + \overline{BC''} + \overline{AC'} \geq \overline{C' C''} AB‾+BC‾+CA‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} + \overline{BC} + \overline{CA}의 최소값은 C′C′′‾\displaystyle \mathrm{\overline{C' C''}}이고, △OC′C′′\mathrm{\triangle} OC' C''는 ∠C′OC′′=120∘\mathrm{\angle} C' O C'' = 120 ^\circ인 이등변삼각형이므로 C′C′′‾=203\displaystyle \mathrm{\overline{C' C''}} = 20 \sqrt{3} 103\displaystyle 10 \sqrt{3}

태그

#대칭이동#최단거리

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