대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열의 곱 점화식

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 ana _{n}=∑k=1nk\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k, b1b _{1}=1= 1, bnb _{n}=bn−1×anan−1\displaystyle = b _{n - 1} \times \frac{a _{n}}{a _{n} - 1} (n≥2n \geq 2) 를 만족시킬 때, b100b _{100}의 값은? [4점] ①4417\displaystyle \frac{44}{17}②4617\displaystyle \frac{46}{17}③4817\displaystyle \frac{48}{17}④5017\displaystyle \frac{50}{17}⑤5217\displaystyle \frac{52}{17}

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④

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해설

an=∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2} bn=bn−1×anan−1\displaystyle b _{n} = b _{n - 1} \times \frac{a _{n}}{a _{n} - 1}에서 양변을 bn−1b _{n - 1}로 나누면 bnbn−1=anan−1=n(n+1)(n+2)(n−1)\displaystyle \frac{b _{n}}{b _{n - 1}} = \frac{a _{n}}{a _{n} - 1} = \frac{n ( n + 1 )}{( n + 2 ) ( n - 1 )} nn에 22, 33, ⋯\cdots, 100100까지 대입하여 변변 곱하면 b100b1=2⋅34⋅1×3⋅45⋅2×4⋅56⋅3×⋯×100⋅101102⋅99\displaystyle \frac{b _{100}}{b _{1}} = \frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 1} \times \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 2} \times \frac{4 \cdot 5}{6 \cdot 3} \times \cdots \times \frac{100 \cdot 101}{102 \cdot 99} ∴\therefore b1001=31×100102=5017\displaystyle \frac{b _{100}}{1} = \frac{3}{1} \times {\frac{100}{102} = \frac{50}{17}}

태그

#자연수의 합#곱셈 점화식

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