수열의 극한과 순서쌍의 개수

i) $a ^{2} = b ^{2}$ ($a = b$) 이면 $\displaystyle \frac{c ^{n} + b ^{n}}{a ^{2 n} + b ^{2 n}}$$\displaystyle = \frac{\left( \frac{c}{a ^{2}} \right) ^{n} + \left( \frac{1}{b} \right) ^{n}}{1 + 1}$ 이므로 $b = 1$, $c = a ^{2} = 1$ --- $( a , b , c ) = ( 1 , 1 , 1 )$ ii) $a ^{2} > b ^{2}$ ($a > b$) 이면 $\displaystyle \frac{c ^{n} + b ^{n}}{a ^{2 n} + b ^{2 n}}$$\displaystyle = \frac{\left( \frac{c}{a ^{2}} \right) ^{n} + \left( \frac{b}{a ^{2}} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{b ^{2}}{a ^{2}} \right) ^{n}}$이므로 $c = a ^{2}$ --- $( a , b , c ) =$$( 2 , 1 , 4 )$, $( 3 , 1 , 9 )$, $( 3 , 2 , 9 )$ iii) $a ^{2} < b ^{2}$ ($a < b$) 이면 $\displaystyle \frac{c ^{n} + b ^{n}}{a ^{2 n} + b ^{2 n}}$$\displaystyle = \frac{\left( \frac{c}{b ^{2}} \right) ^{n} + \left( \frac{1}{b} \right) ^{n}}{\left( \frac{a ^{2}}{b ^{2}} \right) ^{n} + 1}$ 이므로 $c = b ^{2}$ --- $( a , b , c ) =$$( 1 , 2 , 4 )$, $( 1 , 3 , 9 )$, $( 2 , 3 , 9 )$ 따라서 모두 7개 이다.