미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 수렴 참거짓

문제

두 무한수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {an−bn}\left\{ a _{n} - b _{n} \right\}이 모두 수렴하면 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}도 수렴한다. ㄴ. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {anbn}\left\{ a _{n} b _{n} \right\}이 모두 수렴하면 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}도 수렴한다. ㄷ. 모든 자연수 nn에 대하여 0<an<bn0 < a _{n} < b _{n}이고 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 수렴하면 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}도 수렴한다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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①

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해설

[출제의도] 무한수열의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. lim⁡n→∞an=α,lim⁡n→∞bn=β,an−bn=cn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \alpha , \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = \beta , a _{n} - b _{n} = c _{n}이라 하면 bn=an−cnb _{n} = a _{n} - c _{n} ∴lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞(an−cn)=lim⁡n→∞an−lim⁡n→∞cn\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} - c _{n} ) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} - \lim\limits _{n\rightarrow \infty} c _{n} =α−β= \alpha - \beta (참) ㄴ. (반례) an=(13)n,bn=2n\displaystyle a _{n} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} , b _{n} = 2 ^{n}이면 lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞(23)n=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} b _{n=\lim\limits _{n\rightarrow \infty \left( \frac{2}{3} \right)}} ^{n} = 0이지만 lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞2n=∞\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} 2 ^{n} = \infty으로 발산한다. (거짓) ㄷ. (반례) an=(−1)n+2,bn=4a _{n} = ( - 1 ) ^{n} + 2 , b _{n} = 4이면, 0<an<bn,lim⁡n→∞bn=4\displaystyle 0 < a _{n} < b _{n,} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = 4(수렴) 이지만 ana _{n}은 발산한다. (거짓)

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#수열의 극한#반례

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