미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수열 수렴 보기

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. 두 수열 {an+bn}\left\{ a _{n} + b _{n} \right\}, {an−bn}\left\{ a _{n} - b _{n} \right\}이 모두 수렴하면 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 수렴한다. ㄴ. 두 수열 {ann+1}\displaystyle \left\{ \frac{a _{n}}{n + 1} \right\}, {bnn}\displaystyle \left\{ \frac{b _{n}}{n} \right\}이 모두 수렴하면 수열 {bnan}\displaystyle \left\{ \frac{b _{n}}{a _{n}} \right\}은 수렴한다. (단, 모든 자연수 nn에 대하여 an≠0a _{n} \ne 0이다.) ㄷ. 무한급수 ∑n=1∞(12)nan\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} a _{n}이 수렴하면 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 수렴한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
①

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해설

[출제의도] 수열의 극한과 무한급수에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. lim⁡n→∞(an+bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n} + b _{n} )}=α= \alpha, lim⁡n→∞(an−bn)=β\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n} - b _{n} )} = \beta라 하면 lim⁡n→∞bn=12lim⁡n→∞{(an+bn)−(an−bn)}=α−β2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \left\{ ( a _{n} + b _{n} ) - ( a _{n} - b _{n} ) \right. \right\} = \frac{\alpha - \beta}{2}}(참) ㄴ. (반례) an=1,bn=na _{n} = 1 , b _{n} = n이면 lim⁡n→∞ann+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n + 1}}, lim⁡n→∞bnn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{n}}이 모두 존재하지만 lim⁡n→∞bnan=∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{b _{n}}{a _{n}} = \infty이다. (거짓) ㄷ. (반례) an=(−1)na _{n} = ( - 1 ) ^{n}이면 ∑n=1∞(12)nan\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} a _{n}은 수렴하지만 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}은 존재하지 않는다. (거짓)

태그

#수렴#반례#보기

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