미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 꼴 미분계수 극한

문제

삼차함수 f(x)f \left( x \right)에 대하여 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right) 위의 점 (1,f(1))\left( 1 , f \left( 1 \right) \right)에서의 접선과 직선 y=−13x+2\displaystyle y = - \frac{1}{3} x + 2가 서로 수직일 때, lim⁡n→∞n{f(1+12n)−f(1−13n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \left\{ f \left( 1 + \frac{1}{2 n} \right) - f \left( 1 - \frac{1}{3 n} \right) \right\}} 의 값은? [3점] ①56\displaystyle \frac{5}{6}②11③54\displaystyle \frac{5}{4}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 미분계수 이해하기 f′(1)×(−13)=−1\displaystyle f' \left( 1 \right) \times \left( - \frac{1}{3} \right) = - 1이므로 f′(1)=3f' \left( 1 \right) = 3 1n=h\displaystyle \frac{1}{n} = h라 하면 n→∞n \rightarrow \infty일 때 h→0h \rightarrow 0이므로 lim⁡n→∞n{f(1+12n)−f(1−13n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \left\{ f \left( 1 + \frac{1}{2 n} \right) - f \left( 1 - \frac{1}{3 n} \right) \right\}} =lim⁡h→0f(1+h2)−f(1−h3)h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f \left( 1 + \frac{h}{2} \right) - f \left( 1 - \frac{h}{3} \right)}{h}} =lim⁡h→0{f(1+h2)−f(1)h2×12+f(1−h3)−f(1)−h3×13}\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\left\{ \frac{f \left( 1 + \frac{h}{2} \right) - f \left( 1 \right)}{\frac{h}{2}} \times \frac{1}{2} + \frac{f \left( 1 - \frac{h}{3} \right) - f \left( 1 \right)}{- \frac{h}{3}} \times \frac{1}{3} \right\}} =12f′(1)+13f′(1)=52\displaystyle = \frac{1}{2} f' \left( 1 \right) + \frac{1}{3} f' \left( 1 \right) = \frac{5}{2}

태그

#미분계수의 정의#수직

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