대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 합의 자릿수

문제

an=3n2−3na _{n} = 3 n ^{2} - 3 n(n=1,2,⋯n = 1 , 2 , \cdots)과 같이 정의된 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 할 때, SnS _{n}이 처음으로 1616자리의 정수가 되도록 하는 nn을 1010으로 나눈 나머지는? [4점] ①00②11③22④88⑤99

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②

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해설

Sn=∑k=1n(3k2−3k)\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} ( 3 k ^{2} - 3 k ) =3×n(n+1)(2n+1)6−3×n(n+1)2\displaystyle = 3 \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - 3 \times {\frac{n ( n + 1 )}{2}} =(n−1)n(n+1)= ( n - 1 ) n ( n + 1 ) f(x)=(x−1)x(x+1)−1015f ( x ) = ( x - 1 ) x ( x + 1 ) - 10 ^{15} 이라고 하면 x≥1x \geq 1에서 y=f(x)y = f ( x )은 증가 함수이고 f(105)=(105−1)(105)(105+1)−1015=−105f ( 10 ^{5} ) = ( 10 ^{5} - 1 ) ( 10 ^{5} ) ( 10 ^{5} + 1 ) - 10 ^{15} = - 10 ^{5} < 00 f(105+1)=(105)(105+1)(105+2)−1015=3⋅1010+2⋅105f ( 10 ^{5} + 1 ) = ( 10 ^{5} ) ( 10 ^{5} + 1 ) ( 10 ^{5} + 2 ) - 10 ^{15} = 3 \cdot 10 ^{10} + 2 \cdot 10 ^{5} > 00 이므로 1≤x≤1051 \leq x \leq 10 ^{5} 일 때는 f(x)<0f ( x ) < 0 [(x−1)x(x+1)<1015( x - 1 ) x ( x + 1 ) < 10 ^{15} ]이고 x≥105+1x \geq 10 ^{5} + 1 일 때는 f(x)>0f ( x ) > 0 [ (x−1)x(x+1)>0( x - 1 ) x ( x + 1 ) > 0 ]이다. 따라서, 처음으로 Sn−1015>0S _{n} - 10 ^{15} > 0 이 되는 자연수는 n=105+1n = 10 ^{5} + 1 이 된다. ∴\therefore 105+110 ^{5} + 1을 10으로 나눈 나머지는 11이다.

태그

#시그마#자릿수

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