수열 합의 자릿수

$\displaystyle \begin{aligned} S _{n} & = \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} \left( 3 k ^{2} - 3 k \right) \\ & = 3 \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - 3 \times \frac{n ( n + 1 )}{2} = n ^{3} - n \end{aligned}$ $S _{n}$이 처음으로 $16$자리의 정수가 되는 $n$을 찾으려면 $n ^{3}$이 $16$자리의 정수가 되는 $n$을 구해보면 $\displaystyle 15 \leq \log n ^{3} < 16 \leftrightarrow 5 \leq \log n < \frac{16}{3}$에서 $n$은 $6$자리의 정수이어야 한다. $n = 10 ^{5}$이면 $S _{n} = n ^{3} - n = 10 ^{15} - 10 ^{5}$은 $15$자리의 정수이고 $n = 10 ^{5} + 1$이면 $\begin{aligned} S _{n} = n ^{3} - n & = \left( 10 ^{5} + 1 \right) ^{3} - ( 10 ^{5} + 1 ) \\ & = 10 ^{15} + 3 \cdot 10 ^{10} + 2 \cdot 10 ^{5} \end{aligned}$ 은 $16$자리의 정수 그러므로 $S _{n}$이 처음으로 $16$자리의 정수가 되는 $n$은 $n = 10 ^{5} + 1$이므로 $10$으로 나눈 나머지는 $1$이다.