대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 곱 홀수 순서쌍

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 자연수 nn에 대하여 an=5n+1a _{n} = 5 n + 1 b1=1,bn+1−bn=n+1b _{1} = 1 , b _{n+1} - b _{n} = n + 1 을 만족시킨다. 1010 이하인 두 자연수 k,lk , l에 대하여 aka _{k}와 blb _{l}의 곱이 홀수가 되는 순서쌍(k,l)( k , l )의 개수를 구하시오. [4점]

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30

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해설

an=5n+1a _{n} = 5 n + 1 bnb _{n}=1+∑k=1n−1(k+1)\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( k + 1 )=1+n2+n−22=n(n+1)2\displaystyle = 1 + \frac{n ^{2} + n - 2}{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2} ana _{n}은 초항이 6이고 공차가 5인 등차수열이므로 a1a _{1}부터 a10a _{10} 중 홀수인 항은 5개이다. b1=1b _{1} = 1, b2=1+2b _{2} = 1 + 2, b3=1+2+3b _{3} = 1 + 2 + 3, ……이므로 bnb _{n}은 홀수 2개와 짝수 2개가 반복되는 수열이다. 따라서, 10 이하인 두 자연수 kk, ll에 대하여 aka _{k}와 blb _{l}의 곱이 홀수가 되는 순서쌍 (k,l)( k , l )의 개수는 5×6=305 \times 6 = 30

태그

#계차수열#홀짝

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