수열 극한과 자연수 r

[출제의도] 수열의 극한 이해하기 (ⅰ) $1 \leq r < 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{r}{3} \right) ^{n}$$= 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 ^{n} + r ^{n + 1}}{3 ^{n} + 7 \times r ^{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1 \times r \times \left( \frac{r}{3} \right) ^{n}}{1 + 7 \times \left( \frac{r}{3} \right) ^{n}}$$= 1$ 이므로 $r$는 $1 , 2$ (ⅱ) $r = 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 ^{n} + 3 ^{n + 1}}{3 ^{n} + 7 \times 3 ^{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{4 \times 3 ^{n}}{8 \times 3 ^{n}}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$이므로 주어진 식은 성립하지 않는다. (ⅲ) $r > 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{3}{r} \right) ^{n}$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 ^{n} + r ^{n + 1}}{3 ^{n} + 7 \times r ^{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( \frac{3}{r} \right) ^{n} + r}{\left( \frac{3}{r} \right) ^{n} + 7}$$\displaystyle = \frac{r}{7}$$= 1$ 이므로 $r$는 $7$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 주어진 식이 성립하도록 하는 자연수 $r$는 $1 , 2 , 7$ 따라서 모든 $r$의 값의 합은 $1 + 2 + 7$$= 10$