수열 극한과 급수 성질

ㄱ. (반례) $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n}$ , $\displaystyle b _{n} = - \frac{1}{n}$ 이면 임의의 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > b _{n}$이지만 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 0$ ㄴ. $\displaystyle \alpha - \beta = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} - b _{n} )$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( a _{k} - b _{k} ) > 0$ ($\because$임의의 자연수 $k$에 대하여 $a _{k} > b _{k}$ ) ∴$\alpha > \beta$ (참) ㄷ. 무한급수$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$ 과 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}$ 의 합이 각각 존재하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 0$ (거짓)