미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

수열 극한값의 최댓값

문제

수렴하는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=5,∣an+1−an∣≤1n(n+2)(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle a _{1} = 5 , \left| a _{n+1} - a _{n} \right| \leq \frac{1}{n ( n + 2 )} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n}의 최댓값은? ①174\displaystyle \frac{17}{4}②194\displaystyle \frac{19}{4}③214\displaystyle \frac{2 1}{4}④234\displaystyle \frac{23}{4}⑤254\displaystyle \frac{25}{4}

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④

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해설

∣ak+1−ak∣≤1k(k+2)\displaystyle \left| a _{k+1} - a _{k} \right| \leq \frac{1}{k ( k + 2 )} ↔−12(1k−1k+2)≤ak+1−ak≤12(1k−1k+2)⋯\displaystyle \leftrightarrow - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right) \leq a _{k + 1} - a _{k} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right) \cdots(1) 식 (1)의 kk값에 1,2,3,⋯ ,n−11 , 2 , 3 , \cdots , n - 1을 대입하면 k=1k = 1일 때 : −12(1−13)≤a2−a1≤12(1−13)\displaystyle - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \leq a _{2} - a _{1} \leq \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) k=2k = 2일 때 : −12(12−14)≤a3−a2≤12(12−14)\displaystyle - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \leq a _{3} - a _{2} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) k=3k = 3일 때 : −12(13−15)≤a4−a3≤12(13−15)\displaystyle - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) \leq a _{4} - a _{3} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) ⋮\vdots k=n−1k = n - 1일 때 : −12(1n−1−1n+1)≤an−an−1≤12(1n−1−1n+1)\displaystyle - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) \leq a _{n} - a _{n - 1} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) 따라서, −12(32−1n−1n+1)≤an−a1≤12(32−1n−1n+1)\displaystyle - \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \leq a _{n} - a _{1} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) 174+12(1n+1n+1)≤an≤234−12(1n+1n+1)\displaystyle \frac{17}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right) \leq a _{n} \leq \frac{23}{4} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right) lim⁡n→∞{174+12(1n+1n+1)}≤lim⁡n→∞an≤lim⁡n→∞{234−12(1n+1n+1)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \frac{17}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right) \right\} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \frac{23}{4} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right) \right\} ∴174≤lim⁡n→∞an≤234\displaystyle \therefore \frac{17}{4} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} \leq \frac{23}{4} 따라서, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n}의 최댓값은 234\displaystyle \frac{23}{4}

태그

#수열의 극한#조임정리#부등식

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