미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 성질 판단

문제

세 수열 {an},{bn},{cn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\} , \left\{ c _{n} \right\}에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. 두 수열 {an},{anbn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ a _{n} b _{n} \right\}이 모두 수렴하면, 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 수렴한다. ㄴ. lim⁡n→∞(an−2bn)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{n} - 2 b _{n} ) = 0이고 lim⁡n→∞bn=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 1이면, lim⁡n→∞an=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 2이다. ㄷ. an<bn<cna _{n} < b _{n} < c _{n}이고 lim⁡n→∞(cn−an)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( c _{n} - a _{n} ) = 0이면, 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 수렴한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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②

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해설

ㄱ. (반례) an=1n,bn=n+1\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n} , b _{n} = n + 1이라 하면 lim⁡n→∞an=0,lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞n+1n=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 0 , \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n + 1}{n} = 1이지만 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 발산한다. (거짓) ㄴ. lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞{(an−2bn)+2bn}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ ( a _{n} - 2 b _{n} ) + 2 b _{n} \right\} =lim⁡n→∞(an−2bn)+2lim⁡n→∞bn=0+2=2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{n} - 2 b _{n} ) + 2 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 0 + 2 = 2 (참) ㄷ. (반례) an=n−1n,bn=n,cn=n+1n\displaystyle a _{n} = n - \frac{1}{n} , b _{n} = n , c _{n} = n + \frac{1}{n}이라 하면 an<bn<cna _{n} < b _{n} < c _{n}이고, lim⁡n→∞(cn−an)=lim⁡n→∞2n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( c _{n} - a _{n} ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2}{n} = 0이지만 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 발산한다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

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