미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 극한 성질 보기

문제

두 무한수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞bnan=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}}} = \alpha일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, α\alpha는 00이 아닌 실수이다.) [3점]

<보 기>
ㄱ. lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 0이면 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0이다. ㄴ. α=1\alpha = 1이면 lim⁡n→∞(an−bn)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( a _{n} - b _{n} \right) = 0이다. ㄷ. lim⁡n→∞anbn=1α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{b _{n}}} = \frac{1}{\alpha}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞an⋅bnan=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} \cdot \frac{b _{n}}{a _{n}} = 0 (참) ㄴ. (반례) an=n+1a _{n} = n + 1, bn=nb _{n} = n이면 α=1\alpha = 1이지만 lim⁡n→∞(an−bn)=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( a _{n} - b _{n}} ) = 1이다. (거짓) ㄷ. bnan=cn\displaystyle \frac{b _{n}}{a _{n}} = c _{n}으로 놓으면 bn=ancnb _{n} = a _{n} c _{n} ∴ lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anancn=lim⁡n→∞1cn=1α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{b _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{a _{n} c _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{c _{n}} = \frac{1}{\alpha} (참)

태그

#수열의 극한#반례#보기 판단

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