미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 극한 존재 조건

문제

일반항이 an=n(n−14n+1−a)(n≥1)\displaystyle a _{n} = n \left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - a \right) ( n \geq 1 )인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 다음은 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n}이 존재하도록 하는 실수 aa의 값과 이 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n}의 값을 구하는 과정이다. <풀이>에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [4점] an=n(n−14n+1−a)=n−14n+1−a1n\displaystyle a _{n} = n \left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - a \right) = \frac{\sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - a}{\frac{1}{n}} 이므로 이 수열이 수렴하려면 lim⁡n→∞(n−14n+1−a)=\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - a \right) = (가) 이다. 그러므로 a=a =(나) 이다. 따라서,lim⁡n→∞an=\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} =(다) 이다.

①1,12,−54\displaystyle 1 , \frac{1}{2} , - \frac{5}{4}②1,−12,−54\displaystyle 1 , - \frac{1}{2} , - \frac{5}{4}③0,12,−54\displaystyle 0 , \frac{1}{2} , - \frac{5}{4}④0,−12,−516\displaystyle 0 , - \frac{1}{2} , - \frac{5}{16}⑤0,12,−516\displaystyle 0 , \frac{1}{2} , - \frac{5}{16}

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⑤

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해설

lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞n−14n+1−a1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n=} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - a}{\frac{1}{n}}이 수렴하려면 lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0이므로 lim⁡n→∞(n−14n+1−a)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - a \right) = 0이다. 그러므로 윗 식에서 12−a=0∴a=12\displaystyle \frac{1}{2} - a = 0 \therefore a = \frac{1}{2}이다. 따라서, lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞n−14n+1−121n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n=} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{n}} =lim⁡n→∞(n−14n+1−12)(n−14n+1+12)1n(n−14n+1+12)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} - \frac{1}{2} \right) \left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} + \frac{1}{2} \right)}{\frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} + \frac{1}{2} \right)} =lim⁡n→∞n−14n+1−141n(n−14n+1+12)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n - 1}{4 n + 1} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} + \frac{1}{2} \right)} =lim⁡n→∞−5n4(4n+1)n−14n+1+12=−51612+12=−516\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{- 5 n}{4 ( 4 n + 1 )}}{\sqrt{\frac{n - 1}{4 n + 1}} + \frac{1}{2}} = \frac{- \frac{5}{16}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = - \frac{5}{16}

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#무리식 극한#빈칸 추론

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