미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한 계산

문제

두 수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞ann=1,∑n=1∞bnn=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} = 1 , \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{b _{n}}{n} = 2일 때, lim⁡n→∞an+4nbn+3n−2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} + 4 n}{b _{n} + 3 n - 2}의 값은? [3점]

①11②43\displaystyle \frac{4}{3}③53\displaystyle \frac{5}{3}④22⑤73\displaystyle \frac{7}{3}

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③

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해설

[출제의도] 무한급수와 수열의 극한 사이의 관계를 이용하여 극한값을 구한다. 무한급수 ∑n=1∞bnn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{b _{n}}{n}이 수렴하므로 lim⁡n→∞bnn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{b _{n}}{n} = 0 ∴ lim⁡n→∞an+4nbn+3n−2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n} + 4 n}{b _{n} + 3 n - 2} =lim⁡n→∞ann+4bnn+3−2n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{a _{n}}{n} + 4}{\frac{b _{n}}{n} + 3 - \frac{2}{n}} =1+40+3−0\displaystyle = \frac{1 + 4}{0 + 3 - 0} =53\displaystyle = \frac{5}{3}

태그

#급수와 수열의 극한

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