수열 극한

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기 $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k a _{k} = n ^{2} ( n + 1 )$이라 하면 ⅰ) $n \geq 2$일 때, $na _{n} = S _{n} - S _{n-1}$ $= n ^{2} ( n + 1 ) - ( n - 1 ) ^{2} n$ $= 3 n ^{2} - n$ ⅱ) $n = 1$일 때, $1 \times a _{1} = S _{1} = 2$ ⅰ), ⅱ)에 의하여 $na _{n} = 3 n ^{2} - n$ ($n \geq 1$) 즉, $a _{n} = 3 n - 1$ ($n \geq 1$) 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 n - 1}{n} = 3$