미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수열 극한

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 1+anan=n2+2\displaystyle \frac{1 + a _{n}}{a _{n}} = n ^{2} + 2가 성립할 때, lim⁡n→∞n2an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n ^{2} {a _{n}}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다. 1+anan=1an+1=n2+2\displaystyle \frac{1 + a _{n}}{a _{n} =} \frac{1}{a _{n}} + 1 = n ^{2} + 2 1an=n2+1\displaystyle \frac{1}{a _{n} =} n ^{2} + 1이므로 an=1n2+1\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1} lim⁡n→∞n2an=lim⁡n→∞n2n2+1=lim⁡n→∞11+1n2=11+0=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n ^{2} a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{1 + {\frac{1}{n ^{2}}}}} = \frac{1}{1 + 0} = 1

태그

#수열의 극한#일반항

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