대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

$3$ 행 $3$ 열로 이루어진 바닥에 고정된 숫자판이 있다. [그림]과 같이 이 숫자판에서 이웃한 두 행과 이웃한 두 열이 교차하여 만들어지는 오른쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 아래, 왼쪽 위에 있는 두 행과 두 열의 네 칸으로 이루어진 영역을 각각 $A _{1}$ , $A _{2}$ , $A _{3}$ , $A _{0}$ 이라 하자.

제 $1$ 행 제 $2$ 행 제 $3$ 행 제 $1$ 열 제 $2$ 열 제 $3$ 열

[그림] $0$ 이상의 정수 $n$ 에 대하여 숫자판 $T _{n}$ 을 다음과 같은 규칙에 따라 만든다.


	(가) 모든 칸에 $0$ 을 써 만든 숫자판이 $T _{0}$ 이다. $T _{0}$ (나) $n \geq 1$ , $m = ($ $n$ 을 $4$ 로 나눈 나머지)일 때, 숫자판 $T _{n - 1}$ 에서 영역 $A _{m}$ 의 네 칸에만 각각 $n$ 을 더하여 만든 숫자판이 $T _{n}$ 이다. $T _{1}$ $T _{2}$ $T _{3}$ $T _{4}$ $T _{5}$ $\cdots$ $\cdots$

(나) $n \geq 1$ , $m = ($ $n$ 을 $4$ 로 나눈 나머지)일 때, 숫자판 $T _{n - 1}$ 에서 영역 $A _{m}$ 의 네 칸에만 각각 $n$ 을 더하여 만든 숫자판이 $T _{n}$ 이다.

$\cdots$ $\cdots$

숫자판 $T _{n}$ 에서 제 $2$ 행에 있는 세 수를 왼쪽부터 차례대로 $a _{n}$ , $b _{n}$ , $c _{n}$ 이라 하자. 예를 들어 $a _{5} = 7$ , $b _{5} = 15$ , $c _{5} = 8$ 이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>

	ㄱ. $b _{8} = 36$ ㄴ. $\displaystyle c _{4 n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 8 k - 5 )$ ㄷ. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{4 n} = 1505$

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기

③

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 성질 추론하기 ㄱ. $\displaystyle b _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 이므로 $b _{8} = 36$ (참) ㄴ. $\begin{aligned} c _{4 n} = ( 1 + 2 ) + ( 5 + 6 ) + ( 9 + 10 ) + \cdots \\ + \left\{ ( 4 n - 3 ) + ( 4 n - 2 ) \right\} \end{aligned}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 8 k - 5 )$ (참) ㄷ. $b _{4 n} = a _{4 n} + c _{4 n}$ 이 성립하므로 $a _{4 n} = b _{4 n} - c _{4 n} = 4 n ^{2} + 3 n$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{4 n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 4 n ^{2} + 3 n \right) = 1705$ (거짓)

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