대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

숫자판 군수열

문제

그림과 같이 $1$ 부터 연속된 자연수가 규칙적으로 배열된 숫자판이 있다. 흰색 부분에 적혀 있는 모든 수들을 작은 수부터 차례대로 나열하여 $1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , \cdots$ 와 같은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 을 만들 때, $a _{2006}$ 을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 을 군수열 $( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 , 2 , 2 ) , ( 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 ) , \cdots$ 의 꼴로 나타낼 때, $a _{2006}$ 를 제 $n$ 군에 속한다고 하자. 제 $1$ 군부터 제 $n$ 군까지의 총 항의 수는 $\displaystyle 2 + 4 + 6 + \cdots + 2 n = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 k = n ( n + 1 )$ 이므로 $n ( n + 1 ) \geq 2006$ 을 만족하는 가장 작은 자연수 $n$ 은 $45$ 이므로 $a _{2006}$ 은 $45$ 군에 속한다. $\therefore a _{2006} = 45$

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