중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수선의 교점과 외접원 증명

문제

다음은 예각삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 두 꼭짓점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 각각의 대변에 그은 두 수선의 교점을 P\mathrm{P}, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외접원의 반지름의 길이를 RR라 할 때 등식　AP‾2+BC‾2=4R2\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = 4 R ^{2}이 성립함을 증명한 것이다.

<증명> 그림과 같이 점 B\mathrm{B}를 지나고 선분 BC\mathrm{BC}에 수직인 직선과 원이 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하면

DC‾=\displaystyle \overline{\mathrm{DC}} = (가)

이고 ∠DAC=\angle \mathrm{DAC} = (나)

이다. 이때 DB‾\displaystyle \overline{\mathrm{DB}}󰁚AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}이고 AD‾\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}󰁚PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}이므로 사각형 ADBP\mathrm{ADBP}는 평행사변형이다. ∴ AP‾=DB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{DB}} 직각삼각형 DBC\mathrm{DBC}에 피타고라스의 정리를 적용하면 DB‾2+BC‾2=\displaystyle \overline{\mathrm{DB}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = (다)

이다. ∴ AP‾2+BC‾2=4R2\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = 4 R ^{2}

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 것으로 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①2R2 R　90∘90 ^\circ　DC‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{D} C}} ^{2}
②2R2 R　100∘100 ^\circ　4AP‾2\displaystyle 4 {\overline{\mathrm{A} P}} ^{2}
③74R\displaystyle \frac{7}{4} R　100∘100 ^\circ　4AP‾2\displaystyle 4 {\overline{\mathrm{A} P}} ^{2}
④74R\displaystyle \frac{7}{4} R　90∘90 ^\circ　DC‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{D} C}} ^{2}
⑤2R2 R　100∘100 ^\circ　DC‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{D} C}} ^{2}
정답 보기
①

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해설

[출제의도] 여러 가지 도형의 성질을 이용하여 주어진 등식이 성립함을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 ∠DBC=90∘\angle \mathrm{DBC} = 90 ^\circ이므로 선분 DC\mathrm{DC}는 외접원의 지름이다. 따라서 DC‾=2R\displaystyle \overline{\mathrm{DC}} = 2 R,$$∠DAC=90∘\angle \mathrm{DAC} = 90 ^\circ ∴ (가) : 2R2 R, (나) : 90∘90 ^\circ 선분 AP\mathrm{AP}의 연장선과 변 BC\mathrm{BC}가 수직이므로 DB‾\displaystyle \overline{\mathrm{DB}}󰁚AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} 선분 BP\mathrm{BP}의 연장선과 변 CA\mathrm{CA}가 수직이므로 AD‾\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}󰁚PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} 따라서 사각형 ADBP\mathrm{ADBP}는 평행사변형이다. ∴ DB‾=AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{DB}} = \overline{\mathrm{AP}} 직각삼각형 DBC\mathrm{DBC}에서 피타고라스의 정리에 의해 DB‾2+BC‾2\displaystyle \overline{\mathrm{DB} \mathit{}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2}=DC‾2\displaystyle = \overline{\mathrm{DC}} ^{2}이므로 AP‾2+BC‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AP} \mathit{}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2}=4R2= 4 R ^{2} ∴ (다) : DC‾2\displaystyle \overline{\mathrm{DC}} ^{2}

태그

#원주각#피타고라스 정리#증명#중학

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