수선의 발로 만든 사각형 둘레

[출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제 해결하기 직선 $\mathrm{AC}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{- 2 - 2 \sqrt{2}}{2} = - 1 - \sqrt{2}$ 직선 $\mathrm{AC}$와 직선 $\mathrm{BD}$는 서로 수직이므로 직선 $\mathrm{BD}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ 직선 $\mathrm{BD}$의 방정식은 $\displaystyle y = \left( \sqrt{2} - 1 \right) \left( x + 2 \right)$ 점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{F} \mathit{\left( 0 , - 2 + 2 \sqrt{2} \right)}$ 따라서 선분 $\mathrm{AF}$의 길이는 $4$ 사각형 $\mathrm{AEFD}$는 지름이 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$인 원에 내접하고, 사각형 $\mathrm{BCDE}$는 지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$인 원에 내접한다. 두 원의 지름의 길이가 같으므로 호 $\mathrm{ED}$에 대한 원주각의 크기가 같다. 그러므로 $\mathrm{\angle} EAD$$= \mathrm{\angle} DBE$

삼각형 $\mathrm{ABD}$는 직각이등변삼각형이므로 삼각형 $\mathrm{BFE}$도 직각이등변삼각형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = {\overline{FE}}$이므로 $\displaystyle l = 2 \overline{\mathrm{AB}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} = \left\{ 0 - \left( - 2 \right) \right\} ^{2} + \left\{ \left( 2 + 2 \sqrt{2} \right) - 0 \right\} ^{2}$ $\displaystyle = 16 + 8 \sqrt{2}$ $\displaystyle l ^{2} = 4 {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = 64 + 32 \sqrt{2}$ $a = 64$, $b = 32$ 따라서 $a + b = 96$ (다른 풀이) 선분 $\mathrm{AD}$의 길이를 $a$, 선분 $\mathrm{FD}$의 길이를 $b$라 하자. 사각형 $\mathrm{AEFD}$의 둘레의 길이는 $l = 2 \left( a + b \right)$ 삼각형 $\mathrm{AFD}$가 직각삼각형이고, 선분 $\mathrm{AF}$의 길이가 $4$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 16$ 직선 $\mathrm{BD}$의 방정식은 $\displaystyle y = \left( \sqrt{2} - 1 \right) \left( x + 2 \right)$ $\cdots \text{㉠}$ 직선 $\mathrm{AC}$의 방정식은 $\displaystyle y = \left( - 1 - \sqrt{2} \right) \left( x - 2 \right)$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$을 연립하면 $\displaystyle x = \sqrt{2}$, $\displaystyle y = \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{D} \mathit{\left( \sqrt{2} , \sqrt{2} \right)}$ 삼각형 $\mathrm{AFD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{2}$ $\displaystyle ab = 4 \sqrt{2}$ $l ^{2} = 4 \left( a ^{2} + 2 ab + b ^{2} \right)$ $\displaystyle = 4 \left( 16 + 8 \sqrt{2} \right)$$\displaystyle = 64 + 32 \sqrt{2}$ $a = 64$, $b = 32$ 따라서 $a + b = 96$