수선의 발과 직선 방정식

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 방정식을 구하는 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{A} \left( 8 , 6 \right)$이므로 두 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x$, 즉 $3 x - 4 y = 0$ 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $( \mathit{a} , 0 )$$\left( 0 < a < 8 \right)$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BI}}$$\displaystyle = \frac{\left| 3 \times a - 4 \times 0 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + \left( - 4 \right) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{3 a}{5}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}$$= 8 - a$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BI}}$$=$$\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}$에서 $\displaystyle \frac{3 a}{5} = 8 - a$, $a = 5$ 그러므로 점 $\mathrm{B} \left( \mathit{5} , 0 \right)$이다. 두 점 $\mathrm{A} \left( 8 , 6 \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{5} , 0 \right)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y - 0 = \frac{6 - 0}{8 - 5} \left( x - 5 \right)$ $y = 2 x - 10$ 따라서 $m = 2$, $n = \mathit{-} 10$이므로 $m + n$$= 2 + \left( - 10 \right)$$= \mathit{-} 8$ [다른 풀이 1] 점 $\mathrm{A} \left( 8 , 6 \right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = 6$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = 8$ 직각삼각형 $\mathrm{OAH}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{OH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{6 ^{2} + 8 ^{2}}$$= 10$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{BI}}$$= x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}$$= 8 - x$ 두 삼각형 $\mathrm{OBI}$와 $\mathrm{OAH}$가 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} : {\overline{\mathrm{BI}}} = {\overline{\mathrm{OA}}} : {\overline{\mathrm{AH}}}$ $\left( 8 - x \right) : x = 10 : 6$ $10 x = 48 - 6 x$에서 $x = 3$ 그러므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( \mathit{5} , 0 \right)$이다. 두 점 $\mathrm{A} \left( 8 , 6 \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{5} , 0 \right)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y - 0 = \frac{6 - 0}{8 - 5} \left( x - 5 \right)$ $y = 2 x - 10$ 따라서 $m = 2$, $n = \mathit{-} 10$이므로 $m + n$$= 2 + \left( - 10 \right)$$= \mathit{-} 8$ [다른 풀이 2] 직선 $y = mx + n$과 $y$축의 교점을 $\mathrm{C}$라 하면 두 직선 $\mathrm{OC}$, $\mathrm{AH}$가 서로 평행하므로 $\mathrm{\angle} OCB = \angle HAB$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BI}} = \overline{\mathrm{BH}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$는 공통이므로 두 직각삼각형 $\mathrm{AIB}$, $\mathrm{AHB}$는 서로 합동이다. 따라서 $\mathrm{\angle} BAI = \angle BAH$ 삼각형 $\mathrm{OAC}$에서 $\mathrm{\angle} OAC = \angle OCA$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{OA}}$$\displaystyle = \sqrt{8 ^{2} + 6 ^{2}}$$= 10$ 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( 0 , - 10 \right)$이므로 직선 $\mathrm{AC}$의 기울기 $m$은 $m$$\displaystyle = \frac{6 - \left( - 10 \right)}{8 - 0}$$= 2$ $y$절편이 $- 10$이므로 $n = \mathit{-} 10$ 따라서 $m + n$$= 2 + \left( - 10 \right)$$= \mathit{-} 8$