수선의 발과 이등변삼각형

[출제의도] 두 직선의 위치 관계를 활용하여 추론하기 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( a , 4 \right)}$는 직선 $\displaystyle l : y = \frac{1}{m} x + 2$ 위의 점이므로 $a = {\square {2 m}}$ 직선 $\mathrm{BH}$는 직선 $l$에 수직이므로 직선 $\mathrm{BH}$의 방정식은 $y = - m \left( x - {\square {2 m}} \right)$ $\displaystyle \frac{1}{m} x + 2 =$$- m \left( x - 2 m \right)$ 직선 $l$과 직선 $\mathrm{BH}$가 만나는 점 $\mathrm{H}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{H} \mathit{\left( \frac{2 m ^{3} - 2 m}{{\square {m ^{2} + 1}}} , \frac{4 m ^{2}}{{\square {m ^{2} + 1}}} \right)}$ 선분 $\mathrm{OH}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\left( \frac{2 m ^{3} - 2 m}{{\square {m ^{2} + 1}}} \right) ^{2} + \left( \frac{4 m ^{2}}{{\square {m ^{2} + 1}}} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{\left| 2 m \right|}{\square} {m ^{2} + 1} \sqrt{m ^{4} + \square {2} \times m ^{2} + 1}$ $= \left| \square {2 m} \right|$ 이므로 선분 $\mathrm{OH}$의 길이와 선분 $\mathrm{OB}$의 길이가 서로 같다. 따라서 삼각형 $\mathrm{OBH}$는 $m$의 값에 관계없이 이등변삼각형이다. 그러므로 $f \left( m \right) = 2 m$, $g \left( m \right) = m ^{2} + 1$, $k = 2$ 따라서 $f \left( 2 \right) \times g \left( 2 \right) = 4 \times 5 = 20$