수선의 발 속력

P에서 $x$축에 내린 수선의 발을 H, 직선 PQ와 $x$축의 교점을 R라 하면

$\displaystyle \mathrm{\overline{RH}} = \overline{PH} =$$\ln ( t ^{2} + 1 )$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} =$$( t ^{3} + 2 t ) - \ln ( t ^{2} + 1 )$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{OR}$$=$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \left( t ^{3} + 2 t - \ln ( t ^{2} + 1 ) \right)$ 점 Q는 직선 $y = - x$위를 운동한다. 속도는 $\displaystyle \frac{d}{dt} \mathrm{\overline{OQ}}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 3 t ^{2} + 2 - \frac{2 t}{t ^{2} + 1} \right)$ $t = 1$을 대입하면 속력은 $\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$이다.