대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수선의 발 사이 거리

문제

그림과 같이 AB‾=10\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 10, BC‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 6, CA‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = 8인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 그 삼각형의 내부에 AP‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 6인 점 P\mathrm{P}가 있다. 점 P\mathrm{P}에서 변 AB\mathrm{AB}와 변 AC\mathrm{AC}에 내린 수선의 발을 각각 Q\mathrm{Q}, R\mathrm{R}라 할 때, 선분 QR\mathrm{QR}의 길이는? [4점]

①145\displaystyle \frac{14}{5}②33③165\displaystyle \frac{16}{5}④175\displaystyle \frac{17}{5}⑤185\displaystyle \frac{18}{5}

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⑤

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해설

[출제의도] 사인법칙을 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

AQ‾⊥PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} \perp \overline{\mathrm{PQ}}, AR‾⊥PR‾\displaystyle \overline{\mathrm{AR}} \perp \overline{\mathrm{PR}}이므로 네 점 A\mathrm{A}, Q\mathrm{Q}, P\mathrm{P}, R\mathrm{R}는 한 원 위의 점이다. 즉, 선분 AP\mathrm{AP}는 삼각형 AQR\mathrm{AQR}의 외접원의 지름이다. △AQR\mathrm{\triangle} AQR에서 사인법칙을 이용하면 QR‾sin⁡A=AP‾=6\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{QR}}}{\sin A} = \mathrm{\overline{AP}} = 6 △ABC\mathrm{\triangle} ABC는 직각삼각형이므로 sin⁡A=610=35\displaystyle \sin A = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} 따라서 구하는 길이는 QR‾=AP‾sin⁡A\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = \overline{\mathrm{AP}} \sin A=6×35\displaystyle = 6 \times \frac{3}{5}=185\displaystyle = \frac{18}{5}

태그

#사인법칙#원주각

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