미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수선의 발 반복과 극한

문제

그림과 같이 원점 O\mathrm{O}에서 두 점 A(3,0),B(0,1)\displaystyle \mathrm{A} ( \sqrt{3} , 0 ) , \mathrm{B} \left( 0 , 1 \right)을 이은 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 P1\mathrm{P} _{1}이라 하자. 점 P1\mathrm{P} _{1}에서 xx축에 내린 수선의 발을 Q1\mathrm{Q} _{1}, 점 Q1\mathrm{Q} _{1}을 지나고 선분 AB\mathrm{AB}와 평행한 직선의 yy절편을 R1\mathrm{R} _{1}, 점 R1\mathrm{R} _{1}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 P2\mathrm{P} _{2}라 하자. 점 P2\mathrm{P} _{2}에서 xx축에 내린 수선의 발을 Q2\mathrm{Q} _{2}, 점 Q2\mathrm{Q} _{2}를 지나고 선분 AB\mathrm{AB}와 평행한 직선의 yy절편을 R2\mathrm{R} _{2}, 점 R2\mathrm{R} _{2}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 P3\mathrm{P} _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 Qn,Rn,Pn+1\mathrm{Q} _{\mathit{n}} , R _{\mathit{n} _{}} , P _{\mathit{n} + 1}을 정하여 나갈 때, 점 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 xx좌표 xnx _{n}에 대하여 lim⁡n→∞xn=a\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x _{n} = a}이다. 100a2100 a ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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12

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해설

[출제의도] 수열의 점화식을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 Q1\mathrm{Q} _{1}의 좌표는 (34,0)\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{4} , 0 \right)이므로 x1=34\displaystyle x _{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} 점 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 좌표는 (xn,0)( x _{n} , 0 )이므로 점 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}을 지나고 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}에 평행한 직선의 방정식은 y=−13x+13xn\displaystyle y = - \frac{1}{\sqrt{3}} x + \frac{1}{\sqrt{3}} x _{n} 따라서 점Rn\mathrm{R} _{\mathit{n}}의 좌표는 (0,13xn)\displaystyle \left( 0 , \frac{1}{\sqrt{3}} x _{n} \right)이므로 점 Rn\mathrm{R} _{\mathit{n}}을 지나고 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}에 수직인 직선의 방정식은 y=3x+13xn\displaystyle y = \sqrt{3} x + \frac{1}{\sqrt{3}} x _{n}이고, 이 직선과 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}의 교점Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}의 xx좌표가 xn+1x _{n + 1}이므로 xn+1=−14xn+34\displaystyle x _{n + 1} = - \frac{1}{4} x _{n} + \frac{\sqrt{3}}{4}, xn=35+320(−14)n−1\displaystyle x _{n} = \frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{\sqrt{3}}{20} ( - \frac{1}{4} ) ^{n - 1}이다. ∴lim⁡n→∞xn=35\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} x _{n} = \frac{\sqrt{3}}{5}이므로 100a2=100×325=12\displaystyle 100 a ^{2} = 100 \times \frac{3}{25} = 12

태그

#점화식#수열의 극한#좌표

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