공통수학2원의 방정식수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

수서구장의 원과 접선 문제

문제

다음은 중국 남송시대 진구소의 책 <수서구장(數書九章)> 측망류에 있는 문제 요도원성(遙度圓城)이다.

둥근 성이 있는데, 그 둘레와 지름을 알지 못한다. 네 문 가운데 북문 밖으로 3리 되는 곳에 높이 솟은 나무가 있다. 남문을 나오자마자 방향을 꺾어 동쪽으로 9리를 가면 그 나무가 보인다. 성의 둘레와 지름이 각각 얼마인지 알고자 한다.

위의 문제 상황을 오른쪽 그림과 같이 성을 원, 북문을 N, 나무를 T, 남문을 S, 나무가 보이는 위치를 P, N과 T 사이의 거리를 a=3a = 3, S와 P 사이의 거리를 b=9b = 9로 나타내자. 이때, 성의 지름 x=NS‾\displaystyle x = \mathrm{\overline{NS}}를 구하는 올바른 방정식은?

①x3+ax2−4ab2=0x ^{3} + ax ^{2} - 4 ab ^{2} = 0②2x3+ax2−a2b=02 x ^{3} + ax ^{2} - a ^{2} b = 0③x3−2ab2x−4a2b2=0x ^{3} - 2 ab ^{2} x - 4 a ^{2} b ^{2} = 0④2x3+2ab2x−a2b2=02 x ^{3} + 2 ab ^{2} x - a ^{2} b ^{2} = 0⑤x3+ax2−2a2x−a3+a2b=0x ^{3} + ax ^{2} - 2 a ^{2} x - a ^{3} + a ^{2} b = 0

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①

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해설

원의 중심을 O{\mathrm{O}}, PT‾\displaystyle \overline{{\mathrm{PT}}}와 원 O{\mathrm{O}}의 접점을 H{\mathrm{H}}라 하면 △THO\triangle {\mathrm{THO}}∽△TSP\triangle {\mathrm{TSP}}이므로 TH‾:TS‾=OH‾:PS‾\displaystyle {\overline{\mathrm{TH}}} : {\overline{\mathrm{TS}}} = {\overline{\mathrm{OH}}} : {\overline{\mathrm{PS}}} (a+x2)2−(x2)2:(a+x)=x2:b\displaystyle \sqrt{\left( a + \frac{x}{2} \right) ^{2} - \left( \frac{x}{2} \right) ^{2}} : ( a + x ) = \frac{x}{2} : b (a+x)x2=b(a+x2)2−(x2)2\displaystyle \frac{( a + x ) x}{2} = b \sqrt{\left( a + \frac{x}{2} \right) ^{2} - \left( \frac{x}{2} \right) ^{2}} (a+x)2x24=b2(a2+ax)=ab2(a+x)\displaystyle \frac{( a + x ) ^{2} x ^{2}}{4} = b ^{2} ( a ^{2} + ax ) = ab ^{2} ( a + x ) (a+x)2x2−4ab2(a+x)=0( a + x ) ^{2} x ^{2} - 4 ab ^{2} ( a + x ) = 0 (a+x)(x3+ax2−4ab2)=0( a + x ) ( x ^{3} + ax ^{2} - 4 ab ^{2} ) = 0 ∴x3+ax2−4ab2=0(∵x>0)\therefore x ^{3} + ax ^{2} - 4 ab ^{2} = 0 ( \because x > 0 ) ❰다른 풀이❱

원의 중심을 O{\mathrm{O}}, PT‾\displaystyle \overline{{\mathrm{PT}}}와 원 O{\mathrm{O}}의 접점을 H{\mathrm{H}}라 하면 PH‾=PS‾=b\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = {\overline{\mathrm{PS}}} = b, OS‾=12x\displaystyle \overline{\mathrm{OS}} = \frac{1}{2} x이므로 TH‾2=TO‾2−OH‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{TH}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{T} O}} ^{2} - {\overline{\mathrm{O} H}} ^{2} =(a+x2)2−(x2)2=a2+ax\displaystyle = \left( a + \frac{x}{2} \right) ^{2} - \left( \frac{x}{2} \right) ^{2} = a ^{2} + ax ∴TH‾=a2+ax\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{T} H} = \sqrt{a ^{2} + ax} △PST=△OSP+△OHP+△OHT\triangle {\mathrm{P} ST} = \triangle {\mathrm{O} SP} + \triangle {\mathrm{O} HP} + \triangle {\mathrm{O} HT} 12b(a+x)=12×x2×b×2+12×a2+ax×x2\displaystyle \frac{1}{2} b ( a + x ) = \frac{1}{2} \times \frac{x}{2} \times b \times 2 + \frac{1}{2} \times \sqrt{a ^{2} + ax} \times \frac{x}{2} 2ab=xa2+ax\displaystyle 2 ab = x \sqrt{a ^{2} + ax} ∴x3+ax2−4ab2=0\therefore x ^{3} + ax ^{2} - 4 ab ^{2} = 0

태그

#원과 접선#닮음

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