미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수렴하지 않는 급수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항 11, 공비 13\displaystyle \frac{1}{3}인 등비수열이고, 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항 11, 공비 12\displaystyle \frac{1}{2}인 등비수열이다. 수렴하지 않는 무한급수는? [3점] ①∑n=1∞2an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} 2 a _{n}②∑n=1∞(an−bn)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} - b _{n} )③∑n=1∞(−1)nbn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( - 1 ) ^{n} b _{n}④∑n=1∞anbn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} b _{n}⑤∑n=1∞bnan\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{b _{n}}{a _{n}}

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⑤

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해설

an=(13)n−1\displaystyle a _{n} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1}, bn=(12)n−1\displaystyle b _{n} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} ① ∑n=1∞2an=2∑n=1∞an=2×11−13=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} 2 a _{n} = 2 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 2 \times \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 3 (수렴) ② ∑n=1∞(an−bn)=∑n=1∞an−∑n=1∞bn=∑n=1∞(13)n−1−∑n=1∞(12)n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} - b _{n} ) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} =11−13−11−12=−12\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = - \frac{1}{2} (수렴) ③ ∑n=1∞(−1)nbn=∑n=1∞(−1)n(12)n−1=−∑n=1∞(−12)n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( - 1 ) ^{n} b _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( - 1 ) ^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} = - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} =−11−(−12)=−23\displaystyle = - \frac{1}{1 - \left( - \frac{1}{2} \right)} = - \frac{2}{3} (수렴) ④ ∑n=1∞anbn=\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} b _{n} =∑n=1∞(13)n−1(12)n−1=∑n=1∞(16)n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{6} \right) ^{n - 1} =−11−(16)=65\displaystyle = - \frac{1}{1 - \left( \frac{1}{6} \right)} = \frac{6}{5} (수렴) ⑤ ∑n=1∞bnan=\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{b _{n}}{a _{n}} =∑n=1∞(12)n−1(13)n−1=∑n=1∞(32)n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}}{\left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{3}{2} \right) ^{n - 1} (발산) 따라서 수렴하지 않는 무한급수는 ⑤이다.

태그

#등비급수#수렴과 발산

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