확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

순열의 역순 개수 총합

문제

집합 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ 의 네 원소를 배열하여 만든 순열 $( a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} )$ 에 대하여 각 숫자 $a _{k}$ 의 오른쪽에 있는 수 중에서 $a _{k}$ 보다 작은 것들의 개수를 $s _{k} ( k = 1 , 2 , 3 )$ 이라고 하고, 이들의 합 $s _{1} + s _{2} + s _{3}$ 을 $| ( a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} ) |$ 로 나타내자.

예를 들면 $| ( 2 , 4 , 3 , 1 ) | = s _{1} + s _{2} + s _{3}$ $= 1 + 2 + 1 = 4$ 이다. 집합 $A$ 에 대한 $24$ 개의 모든 순열 $( i _{1} , i _{2} , i _{3} , i _{4} )$ 마다 각각 정해지는 $| ( i _{1} , i _{2} , i _{3} , i _{4} ) |$ 의 총합을 구하여라. [4점]

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72

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해설

문제에서 각 숫자 $a _{k}$ 의 오른쪽에 있는 수 중에서 $a _{k}$ 보다 작은 것들의 개수를 $s _{k}$ , 큰 것들의 개수를 $t _{k} ( k = 1 , 2 , 3 )$ 이라 하면 언제나 $s _{1} + s _{2} + s _{3} + t _{1} + t _{2} + t _{3} = 6$ 이 성립하며, 전체적으로 볼 때, $A$ 의 각 원소가 배열되는 순서나 위치는 동일한 조건이 된다. 따라서 $24$ 개의 $s _{1} + s _{2} + s _{3}$ 의 총합과 $24$ 개의 $t _{1} + t _{2} + t _{3}$ 의 총합은 서로 같다. $\displaystyle \therefore s _{1} + s _{2} + s _{3} \text{의} \text{총합} = \frac{24 \times 6}{2} = 72$ $\therefore | ( i _{1} , i _{2} , i _{3} , i _{4} ) | \text{의} \text{총합} = 72$

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