순열 합 부등식 귀납법

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{\mathit{_{2 k}} \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{k}}}}{2 ^{k}} \leq \frac{( 2 n ) !}{2 ^{n}}$ $\cdots \cdots$ (*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) $n = 1$일 때, (좌변)$\displaystyle = \frac{{} _{2} {\mathrm{P}} _{1}}{2 ^{1}}$$= 1$이고, (우변)$=$$\square {\mathit{^{}} ( \text{가} )}$이므로 (*)이 성립한다. (ⅱ) $n = m$일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} {} \frac{{{} _{2 k} \mathrm{P}} _{k}}{2 ^{k}} \leq \frac{( 2 m ) !}{2 ^{m}}$ 이다. $n = m + 1$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} {} \frac{{{} {} _{2 k} \mathrm{P}} _{k}}{2 ^{k}}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} {} \frac{{{} {} _{2 k} \mathrm{P}} _{k}}{2 ^{k}} + \frac{{{} {} _{2 m + 2} \mathrm{P}} _{m + 1}}{2 ^{m + 1}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} {} \frac{\mathit{_{2k}} {\mathrm{P}} \mathit{_{k}}}{2 ^{k}} + \frac{\square {\mathit{^{}} ( \text{나} )}}{2 ^{m + 1} \times ( m + 1 ) !}$ $\displaystyle \leq \frac{( 2 m ) !}{2 ^{m}} + \frac{\square {\mathit{^{}} ( \text{나} )}}{2 ^{m + 1} \times ( m + 1 ) !}$ $\displaystyle = \frac{\square {\mathit{^{}} ( \text{나} )}}{2 ^{m + 1}} \times \left\{ \frac{1}{\mathit{^{\mathit{^{}}}} \square {\mathit{^{}} ( \text{다} )}} + \frac{1}{( m + 1 ) !} \right\}$ $\displaystyle < \frac{( 2 m + 2 ) !}{2 ^{m + 1}}$ 이다. 따라서 $n = m + 1$일 때도 (*)이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{\mathit{_{2 k}} \mathrm{P} _{\mathit{k}}}{2 ^{k}} \leq \frac{( 2 n ) !}{2 ^{n}}$ 이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f ( m )$, $g ( m )$이라 할 때, $\displaystyle p + \frac{f ( 2 )}{g ( 4 )}$의 값은? [4점] ①$16$②$17$③$18$④$19$⑤$20$