공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

순서쌍 연산의 역원

문제

집합 A={(x,y)∣x,yA = \left\{ ( x , y ) | x , y \right. 는 실수, y≠0}y \ne 0 \} 의 임의의 두 원소 (a,b)( a , b ), (c,d)( c , d )에 대하여 연산⊗\otimes를 (a,b)⊗(c,d)=(ad+bc,bd)( a , b ) \otimes ( c , d ) = ( ad + bc , bd )로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. (3,2)⊗(2,−1)=(1,−2)( 3 , 2 ) \otimes ( 2 , - 1 ) = ( 1 , - 2 ) 이다. ㄴ. 연산 ⊗\otimes 에 대한 (−4,2)( - 4 , 2 ) 의 역원은 (1,12)\displaystyle \left( 1 , \frac{1}{2} \right) 이다. ㄷ. (a,b)⊗(a2,b2)=(−a,−b)( a , b ) \otimes ( a ^{2} , b ^{2} ) = ( - a , - b ) 를 만족하는 (a,b)\left( a , b \right) 가 유일하게 존재한다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 이항연산의 정의를 이용하여 추론하기 ㄱ. (3,2)⊗(2,−1)=(1,−2)( 3 , 2 ) \otimes ( 2 , - 1 ) = ( 1 , - 2 ) (참) ㄴ. 집합 AA에서 연산⊗\otimes에 대한 항등원이 (0,1)( 0 , 1 )이므로 (−4,2)⊗(x,y)=(0,1)( - 4 , 2 ) \otimes ( x , y ) = \left( 0 , 1 \right) 2x−4y=0,2y=12 x - 4 y = 0 , 2 y = 1이므로 (x,y)=(1,12)\displaystyle ( x , y ) = ( 1 , \frac{1}{2} ) (참) ㄷ. (ab2+a2b,b3)=(−a,−b)\left( ab ^{2} + a ^{2} b , b ^{3} \right) = \left( - a , - b \right) b2=−1b ^{2} = - 1 인 실수 bb 는 존재하지 않는다. (거짓)

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