순서쌍 연산의 성질

가. $( c , d ) \odot ( a , b ) = ( ac + bd , bc + ad )$ (참) 나. 항등원을 $( p , q )$라 하면 $( a , b ) \odot ( p , q ) = ( ap + bq , aq + bp )$$= ( a , b )$ $\therefore ( p , q ) = ( 1 , 0 )$ (참) 다. $( a , b )$의 역원을 $( m , n )$이라 하면 $( a , b ) \odot ( m , n ) = ( am + bn , an + bm )$$= ( 1 , 0 )$ $am + bn = 1 \cdots$(1), $an + bm = 0 \cdots$(2) 식 (1)과 (2)를 연립하여 풀면 $abm + b ^{2} n = b \cdots$($1'$), $abm + a ^{2} n = 0 \cdots$($2'$) 식 ($1'$) - 식 ($2'$)을 하면 $( b + a ) ( b - a ) n = b$, $\displaystyle \therefore n = \frac{b}{( b + a ) ( b - a )}$(단, $a \ne b$) $\displaystyle \therefore m = \frac{a}{( a + b ) ( a - b )}$ 따라서, $a = b$인 경우에 역원이 존재하지 않는다. (거짓)