순서쌍 집합 보기

[출제의도] 지수의 성질을 이용하여 명제의 참과 거짓을 추론한다. ㄱ. $A _{4}$는 $2 ^{a}$$\displaystyle = \frac{4}{b}$에서 $4$$= 2 ^{a} \times b$인 자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로 $4$$= 2 ^{1} \times 2$, $4$$= 2 ^{2} \times 1$ $A _{4}$$= \left\{ ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) \right\}$ (참) ㄴ. $m = 2 ^{k}$일 때, $A _{m}$$= A _{2 ^{k}}$ $A _{m}$은 $2 ^{a}$$\displaystyle = \frac{2 ^{k}}{b}$에서 $2 ^{k}$$= 2 ^{a} \times b$인 자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로 $A _{m}$$= \left\{ ( 1 , 2 ^{k - 1} ) , ( 2 , 2 ^{k - 2} ) , ( 3 , 2 ^{k - 3} ) , \cdots , ( k , 2 ^{0} ) \right\}$ 이다. 따라서 $n ( A _{m} ) = k$ (참) ㄷ. $A _{m}$은 $2 ^{a}$$\displaystyle = \frac{m}{b}$에서 $m$$= 2 ^{a} \times b$인 자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이다. $n \left( A _{m} \right)$$= 1$이 되기 위해서는 $\displaystyle b = \frac{m}{2 ^{k}}$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $k$가 오직 하나만 존재하므로 $k = 1$이어야 한다. 따라서 $m$$= 2 ^{1} \times ( \text{홀수} )$이어야 한다. 두 자리 자연수 중에서 $2 ^{1} \times ( \text{홀수} )$인 자연수는 $2 \times 5$, $2 \times 7$, $2 \times 9$, $\cdots$ , $2 \times 49$ 이다. 따라서 $n \left( A _{m} \right)$$= 1$이 되도록 하는 두 자리 자연수 $m$의 개수는 $5$, $7$, $9$, $\cdots$ , $49$의 개수와 같다. $5$, $7$, $9$, $\cdots$ , $49$는 첫째항이 $5$이고 공차가 $2$인 등차수열의 첫째항부터 제$23$항을 나타낸 것이므로 조건을 만족시키는 두 자리 자연수 $m$의 개수는 $23$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.