순서쌍 확률 빈칸

다음은 자연수 $n$에 대하여 방정식 $a + b + c = 3 n$을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$의 모든 순서쌍 $( a , b , c )$중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 $( a , b , c )$가 $a > b$ 또는 $a > c$ 를 만족시킬 확률을 구하는 과정이다.

방정식 $a + b + c = 3 n$ $\cdots \cdots$(＊) 을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$의 모든 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 ${\square {{} ^{\mathit{^{}}} ( \text{가} ) _{}}}$이다. 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $( a , b , c )$가 $a > b$ 또는 $a > c$를 만족시키는 사건을 $A$라 하면 사건 $A$의 여사건 $A ^{C}$은 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $( a , b , c )$가 $a \leq b$와 $a \leq c$를 만족시키는 사건이다. 이제 $n ( A ^{C} )$의 값을 구하자. 자연수 $k ( 1 \leq k \leq n )$에 대하여 $a = k$인 경우, $b \geq k$, $c \geq k$이고 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 ${\square {{} ^{\mathit{^{}}} ( \text{나} ) _{}}}$이므로 $n ( A ^{C} )$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n}$${\square {{} ^{\mathit{^{}}} ( \text{나} ) _{}}}$ 이다. 따라서 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} ( A ) =$${\square {{} ^{\mathit{^{}}} ( \text{다} ) _{}}}$ 이다.

위의 (가)에 알맞은 식에 $n = 2$를 대입한 값을 $p$, (나)에 알맞은 식에 $n = 7$, $k = 2$를 대입한 값을 $q$, (다)에 알맞은 식에 $n = 4$를 대입한 값을 $r$라 할 때, $p \times q \times r$의 값은? [4점] ①$88$②$92$③$96$④$100$⑤$104$