순서쌍 개수와 극한

$\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2 a + 2 b - 20}{k} \right| ^{n}$의 값이 존재하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2 a + 2 b - 20}{k} \right| ^{n} = 0$ 또는 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2 a + 2 b - 20}{k} \right| ^{n} = 1$ (ⅰ) $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| a \right| \left( a + b \right) ^{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2 a + 2 b - 20}{k} \right| ^{n} = 1$인 경우 $\displaystyle \left| \frac{2 a + 2 b - 20}{k} \right| = 1$, $a + b = 1$, $\left| a \right| = 1$을 모두 만족시켜야 한다. $a + b = 1$에서 $\displaystyle \frac{\left| 2 \times 1 - 20 \right|}{\left| k \right|} = 1$, 즉 $k = 18$ $k = 18$일 때 $a + b = 1$, $\left| a \right| = 1$을 만족시키는 정수 $\left( a , b \right)$의 순서쌍은 $\left( - 1 , 2 \right)$와 $\left( 1 , 0 \right)$뿐이므로 정수 $\left( a , b \right)$의 모든 순서쌍의 개수는 $2$이다. (ⅱ) $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| a \right| \left( a + b \right) ^{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2 a + 2 b - 20}{k} \right| ^{n} = 0$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left| a \right| \left( a + b \right) ^{n} = 0$이므로 $a + b = 0 \left( a \neq 0 \right)$ 또는 $a = 0$ $\displaystyle \left| \frac{2 a + 2 b - 20}{k} \right| < 1$에서 $\left| 2 a + 2 b - 20 \right| < k \leq 20$ $a + b = 0 \left( a \neq 0 \right)$일 때, 부등식을 만족시키지 못한다. $a = 0$일 때, $\left| 2 b - 20 \right| < k$ 즉 $\displaystyle 10 - \frac{k}{2} < b < 10 + \frac{k}{2}$ $k$가 홀수인 경우, 부등식을 만족시키는 정수 $b$의 개수는 $k$이고 $k$가 짝수인 경우, 부등식을 만족시키는 정수 $b$의 개수는 $k - 1$이다. $k = 18$, $k = 19$, $k = 20$인 경우 조건을 만족시키는 정수 $\left( a , b \right)$의 모든 순서쌍의 개수는 각각 $17$, $19$, $19$이다. $k \leq 17$인 경우 조건을 만족시키는 정수 $\left( a , b \right)$의 모든 순서쌍의 개수는 $17$ 이하이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족시키는 자연수 $k$의 값은 $18$, $19$, $20$이므로 $18 + 19 + 20 = 57$