수직선 위 점의 운동

ㄱ. $k = 0$이면 $v \left( t \right) = t ^{2} + 4$ 함수 $v \left( t \right) = t ^{2} + 4$의 그래프는 다음 그림과 같다.

원점을 출발하여 시각 $t = 1$일 때의 위치는 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {v \left( t \right)} dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\left( t ^{2} + 4 \right)} dt$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} t ^{3} + 4 t \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{3} + 4 \right) - \left( 0 + 0 \right)$$\displaystyle = \frac{13}{3}$ (참) ㄴ. $k = 3$이면 $\displaystyle v \left( t \right) = t ^{2} - 3 t + 4 = \left( t - \frac{3}{2} \right) ^{2} + \frac{7}{4}$ $t \geq 0$에서 $v \left( t \right) > 0$이므로 출발할 때의 방향과 같은 방향으로만 이동한다. (거짓) ㄷ. $k = 5$이면 $v \left( t \right) = t ^{2} - 5 t + 4 = \left( t - 1 \right) \left( t - 4 \right)$ 함수 $v \left( t \right) = t ^{2} - 5 t + 4$의 그래프는 다음 그림과 같다.

시각 $t = 0$에서 $t = 2$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left( t ^{2} - 5 t + 4 \right) dt} + \int _{1} ^{2} {\left( - t ^{2} + 5 t - 4 \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} t ^{3} - \frac{5}{2} t ^{2} + 4 t \right] _{0} ^{1} + \left[ - \frac{1}{3} t ^{3} + \frac{5}{2} t ^{2} - 4 t \right] _{1} ^{2}$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 \right) - \left( 0 - 0 + 0 \right)$$\displaystyle + \left( - \frac{8}{3} + 10 - 8 \right) - \left( - \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$ $\displaystyle = \frac{11}{6} + \frac{- 4}{6} - \frac{- 11}{6}$ $= 3$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.