미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직선 위 점의 거리

문제

수직선 위의 점 ${\mathrm{A}} \mathit{(} 6 )$ 과 시각 $t = 0$ 일 때 원점을 출발하여 이 수직선 위를 움직이는 점 ${\mathrm{P}}$ 가 있다. 시각 $t ( t \geq 0 )$ 에서의 점 ${\mathrm{P}}$ 의 속도 $v ( t )$ 를 $v ( t ) = 3 t ^{2} + a t ( a > 0 )$ 이라 하자. 시각 $t = 2$ 에서 점 ${\mathrm{P}}$ 와 점 ${\mathrm{A}}$ 사이의 거리가 $\mathrm{10}$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? [4점] ① $\mathrm{1}$ ② $\mathrm{2}$ ③ $\mathrm{3}$ ④ $\mathrm{4}$ ⑤ $\mathrm{5}$

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④

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해설

시각 $t$ 에서의 점 $P$ 의 위치를 $x ( t )$ 라 하면 $\displaystyle x ( t ) = t ^{3} + \frac{1}{2} at ^{2} + C$ (단, $C$ 는 적분상수) $x ( 0 ) = 0$ 이므로 $C = 0$ 이다. $\left| x ( 2 ) - 6 \right| = 10$ $\left| ( 2 a + 8 ) - 6 \right| = 10$ $\therefore a = 4$ 또는 $a = - 6$ $a > 0$ 이므로 $a = 4$ 이다.

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