수직선 위 점이 움직인 거리

[출제의도] 속도와 위치의 변화량을 이해하여 점이 움직인 거리를 구한다. 시각 $t = 0$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치와 시각 $t = 6$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치가 서로 같으므로 시각 $t = 0$에서 $t = 6$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량이 $0$이다. 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$($t {\geq 0}$)에서의 속도 $v ( t )$가 $v ( t ) = 3 t ^{2} + at$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{6} {} v ( t ) dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{6} {} \left( 3 t ^{2} + at \right) dt$ $\displaystyle = \left[ t ^{3} + \frac{a}{2} t ^{2} \right] _{0} ^{6}$ $\displaystyle = 36 \left( 6 + \frac{a}{2} \right)$$= 0$ $a = \mathit{-} 12$ $v ( t ) = 3 t ^{2} - 12 t$이므로 점 $\mathrm{P}$가 시각 $t = 0$에서 $t = 6$까지 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{6} {} \left| v ( t ) \right| dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{6} {} \left| 3 t ^{2} - 12 t \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{4} {} \left( - 3 t ^{2} + 12 t \right) dt + \int _{4} ^{6} {} \left( 3 t ^{2} - 12 t \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - t ^{3} + 6 t ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{4} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 6 t ^{2} \end{array} \right] _{4} ^{6}$ $= 32 + 32$$= 64$