미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직선 운동 방향 전환

문제

원점 $\mathrm{O}$ 를 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 의 $t$ 분 후의 좌표를 각각 $x _{1}$ , $x _{2}$ 라 하면 $x _{1} = 2 t ^{3} - 9 t ^{2}$ , $x _{2} = t ^{2} + 8 t$ 이다. 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 할 때, 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 가 원점을 출발한 후 $4$ 분 동안 세 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{M}$ 이 움직이는 방향을 바꾼 횟수를 각각 $a$ , $b$ , $c$ 라고 하자. 이때, $a + b + c$ 의 값은? [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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③

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해설

$\displaystyle \frac{dx _{1}}{dt} = 6 t ^{2} - 18 t = 6 t ( t - 3 )$ 따라서 $\mathrm{P}$ 는 $t = 3$ 일 때 운동방향을 바꾸므로 $a = 1$ 마찬가지로 $\displaystyle \frac{dx _{2}}{dt} = 2 t + 8$ 이므로 $b = 0$ $t$ 분 후의 $\mathrm{M}$ 의 좌표를 $f ( t )$ 라 하면 $f ( t )$ $= t ^{3} - 4 t ^{2} + 4 t$ $f' ( t ) = 3 t ^{2} - 8 t + 4 = ( 3 t - 2 ) ( t - 2 )$ ∴ $c = 2$ ∴ $a + b + c = 3$

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