수직선 내분점과 외분점 보기

[출제의도] 선분의 내분과 외분을 이해하여 추론하기 선분 $\mathrm{AC}$를 $m : n$으로 내분하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle p = \frac{mc + na}{m + n} \cdots \cdots \text{①}$ 이고, 선분 $\mathrm{BC}$를 $m : n$으로 외분하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $p = \frac{mc - nb}{m - n} \cdots \cdots \text{ ②}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{mc + na}{m + n}$$= \frac{mc - nb}{m - n} \cdots \cdots \text{ ③}$이다. ㄱ. $a = 1 , b = 5 , m = 1 , n = 2$를 ③식에 대입 하면, $\displaystyle \frac{c + 2}{3} = \frac{c - 10}{- 1}$에서 $c = 7$이다. (참) ㄴ. $a = 0 , c = 3 , m = 2 , n = 1$을 ③식에 대입 하면, $\displaystyle \frac{6 + 0}{3} = \frac{6 - b}{1}$에서 $p = 2$, $b = 4$가 되어 $a < p < c < b$이다. (거짓) ㄷ. ①식의 양변에 $m + n$을 곱하면 $\left( m + n \right) p = mc + na \cdots \cdots \text{ ④}$이다. ②식의 양변에 $m - n$을 곱하면 $\left( m - n \right) p = mc - nb \cdots \cdots \text{ ⑤}$이다. 이때, ④식과 ⑤식을 연립하여 $p$에 관하여 정리하면 $\displaystyle p = \frac{a + b}{2}$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.