수직선 거리 합 부등식

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 절대값이 있는 일차부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} P} = | x - 3 |$, $\displaystyle \overline{\mathrm{B} P} = | x - 7 |$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A} P} + \overline{\mathrm{B} P} = | x - 3 | + | x - 7 |$ $| x - 3 | + | x - 7 | \leq 8$을 풀면 (ⅰ)　$x < 3$일 때, $- ( x - 3 ) - ( x - 7 ) \leq 8$에서 $x \geq 1$ ∴ $1 \leq x < 3$ (ⅱ) $3 \leq x < 7$일 때, $( x - 3 ) - ( x - 7 ) \leq 8$에서 $0 \leq 4$이므로 해는 모든 실수이다. ∴ $3 \leq x < 7$ (ⅲ) $x \geq 7$일 때, $( x - 3 ) + ( x - 7 ) \leq 8$에서 $x \leq 9$ ∴ $7 \leq x \leq 9$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $1 \leq x \leq 9$ ∴ $\displaystyle 1 \leq \overline{\mathrm{O} P} \leq 9$ 따라서 선분 $\mathrm{O} P$의 길이의 최댓값과 최솟값의 합은 $10$이다.