미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직인 직선과 선분 비의 극한

문제

그림과 같이 직선 y=x+1y = x + 1 위에 두 점 A(−1,0)\mathrm{A} ( - 1 , 0 )과 P(t,t+1){\mathrm{P}} ( t , t + 1 )이 있다. 점 P\mathrm{P}를 지나고 직선 y=x+1y = x + 1에 수직인 직선이 yy축과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 할 때, lim⁡t→∞AQ‾2AP‾2\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow \infty} \frac{{\overline{\mathrm{AQ}}} ^{2}}{{\overline{\mathrm{AP}}} ^{2}}의 값은? [3점]

①11②32\displaystyle \frac{3}{2}③22④52\displaystyle \frac{5}{2}⑤33

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③

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해설

직선 PQ\mathrm{PQ}의 방정식은 y=−(x−t)+t+1=−x+2t+1\begin{aligned} y & = - ( x - t ) + t + 1 & = - x + 2 t + 1 \end{aligned} ∴Q(0,2t+1)\therefore \mathrm{Q} \mathit{(} 0 , 2 t + 1 ) ∴AP‾2=(t+1)2+(t+1)2=2t2+4t+2\displaystyle \begin{aligned} \therefore \mathrm{\overline{AP}} \mathit{^{2}} & = ( t + 1 ) ^{2} + ( t + 1 ) ^{2} = 2 t ^{2} + 4 t + 2 \end{aligned} ∴AQ‾2=(−1)2+(2t+1)2=4t2+4t+2\displaystyle \begin{aligned} \therefore \mathrm{\overline{AQ}} \mathit{^{2}} & = ( - 1 ) ^{2} + ( 2 t + 1 ) ^{2} = 4 t ^{2} + 4 t + 2 \end{aligned} ∴lim⁡t→∞AQ‾2AP‾2=lim⁡t→∞4t2+4t+22t2+4t+2=2\displaystyle \therefore \lim\limits _{t\rightarrow \infty} \frac{\mathrm{\overline{AQ}} ^{2}}{{\overline{AP}} ^{2}} = \lim\limits _{t\rightarrow \infty} \frac{\mathit{4 t ^{2} + 4 t + 2}}{2 t ^{2} + 4 t + 2} = 2

태그

#무한대 극한#직선의 방정식

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